Zoeken
TULE

Rekenen/wiskunde - Getallen en bewerkingen - kerndoel 31 - Groep 7 en 8 - Doorkijkje


De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken.


Groep 7 en 8

Terug naar de leerlijn

Wat doen de kinderen
Wat doet de leraar
Doorkijkje

Doorkijkje

Een repeterende breuk

In de groep van juffrouw Marja hebben de kinderen hun rekenmachine bij de hand. Op het digibord toont zij de een aantal deelopgaven (zoals hiernaast).

Vastgesteld wordt dat dit betrekkelijk eenvoudige opgaven zijn die al in groep 5 en 6 aan de orde kwamen. Marja vraagt om bij enkele opgaven een passend verhaal te bedenken. Er worden enkele situaties bedacht in de trant van:
10 appels met 2 personen verdelen, een stuk touw van 10 meter in 3 gelijke stukken knippen, en 10 tennisballen in doosjes van 4 stoppen. Aansluitend krijgen de kinderen de opdracht om alle opgaven zelf uit te rekenen, waarbij ze het antwoord op hun eigen manier mogen weergeven.

Na een minuut of vijf volgt een nabespreking, waarin eerst wordt geïnventariseerd welke opgaven eenvoudig uit te rekenen waren. Dit blijken te zijn: 10 : 2, 10 : 5 en 10 : 10. Maar volgens sommigen is ook 10 : 4 makkelijk, want "dat is 2,5". Ter verklaring wordt de situatie met de appels aangedragen: als je 10 appels met z'n vieren verdeelt, krijgt ieder twee en een halve appel, oftewel
2,5 appel.

Bij de resterende vijf opgaven hebben de meeste kinderen een uitkomst met rest ingevuld. Bijvoorbeeld: 10 : 6 is 1 rest 4. Op zich is dit wel goed, geeft Marja aan, maar misschien is het ook mogelijk de uitkomst in een kommagetal weer te geven, net zoals bij 10:4. Om dit nader te onderzoeken, wordt nu de rekenmachine ingeschakeld.

De kinderen rekenen de resterende opgaven op de machine uit, en ontdekken dat dit tot nogal onverwachte resultaten leidt, soms met 'hele lange getallen': 10:3 leidt tot 3.33333333 en 10:6 tot 1.66666666; 10:8 daarentegen leidt tot een veel 'korter getal': 1,25.
"Hoe kan dit nu? Zouden we zulke onverwachte uitkomsten kunnen verklaren? Als hint zou je kunnen denken aan een situatie van een sliert drop van 10 meter die je met z'n drieën of met z'n zessen of met z'n achten mag verdelen", voegt Marja eraan toe. De uitkomst bij 10 : 8 blijkt nu goed te verklaren. Immers: als je 10 meter drop met z'n achten verdeelt, kun je eerst iedereen 1 meter drop geven; er blijft dan nog 2 meter over, dat is 25 centimeter per persoon. Conclusie: ieder krijgt 1,25 meter.

Maar hoe zit dat nu met 10 : 3? Waarom krijg je dan zoveel cijfers achter de komma? Volgens dezelfde redenering kan iedereen 3 meter drop krijgen, en dan is er nog 1 meter oftewel 100 centimeter over. Daarvan kan iedereen 33 cm krijgen, hetgeen tot een uitkomst van 1 m en 33 cm oftewel 1,33 zou leiden. Maar dan is er nog 1 centimeter over... Dylan stelt voor om er millimeters van te maken: "1 cm is evenveel als 10 mm, en dan kun je iedereen dus 3 mm geven, met weer 1 mm over." Dit geeft als uitkomst 1 m en 333 mm oftewel 1,333 met nog weer een rest van 1 mm. "Ja, zo kun je wel doorgaan", aldus Emma. En inderdaad, zo blijk je altijd maar door te kunnen gaan. Bij steeds verdere maatverfijning komt er weer een 3 bij in de uitkomst, en houd je altijd nog weer een rest van 1 over.

Tot besluit onderzoeken de kinderen zelf of de uitkomsten bij de resterende opgaven op eenzelfde manier te verklaren zijn. Niet iedereen komt daarbij even ver. Niettemin ontstaat zo een eerste besef van het verschijnsel van de repeterende breuk, en wordt er wederom een tipje opgelicht van de sluier van het oneindige karakter van de getallenwereld.


Toelichting: Vier verschillende rekenvormen

Rekenen doe je precies of ongeveer, schriftelijk of uit het hoofd. In het algemeen zijn de volgende vier rekenvormen te onderscheiden:

  • precies: uit het hoofd, dat wil zeggen op basis van kennis van rekenfeiten (zoals tafels) of onder gebruikmaking van een hoofdrekenstrategie (zoals wanneer 8x25 via 4x100 wordt uitgerekend). In dat laatste geval kan ook gebruik worden gemaakt van passende tussennotaties. Zie verder kerndoel 28.
  • precies: schriftelijk, dat wil zeggen op basis van vaste rekenprocedures die stap voor stap schriftelijk worden uitgevoerd. Dit betreft behalve de cijferprocedures waarbij met cijfers of positiewaarden gewerkt wordt, ook de kolomsgewijze procedures waarbij met getalwaarden wordt gewerkt. Zie verder kerndoel 30.
  • ongeveer, dat wil zeggen door de getallen in een situatie af te ronden tot makkelijk hanteerbare getallen die gebruikt kunnen worden om via een eenvoudige hoofdrekenstrategie tot een benadering van de uitkomst te komen. Al naar gelang de situatie kan sprake zijn van tussennotaties. Zie verder kerndoel 29.
  • precies: op de rekenmachine, hierbij wordt een oplossingsstrategie bedacht die vervolgens met behulp van de rekenmachine wordt uitgevoerd. Soms worden alle rekenhandelingen op de machine gedaan, soms gebeurt dit slechts ten dele, namelijk voor de meest bewerkelijke handelingen.

Wanneer wordt welke rekenvorm aangeboden?

Precies leren rekenen staat in ons leerplan voorop. In eerste instantie gaat de aandacht volledig uit naar hoofdrekenen. Aanvankelijk betreft dit helemaal uit het hoofd rekenen (zoals bij het optellen en aftrekken tot 20 en bij de tafels), naderhand wordt veel aandacht besteed aan het gebruik van passende tussennotaties bij hoofdrekenen. Geleidelijk aan leren de leerlingen zulke notaties steeds verkorter te gebruiken, totdat de tussennotaties uiteindelijk grotendeels verdwijnen.
In tweede instantie gaat de aandacht uit naar de tweede vorm van precies rekenen, dat wil zeggen het schriftelijk rekenen waarbij gebruik wordt gemaakt van standaardprocedures. Deze komen grotendeels voort uit de hoofdrekenstrategieën die eerder aan de orde zijn gesteld.
Naast het schriftelijk rekenen gaat het schattend rekenen vervolgens steeds meer een rol spelen. De uitkomsten van het precies rekenen kunnen er mee gecontroleerd worden. Maar ook speelt schattend rekenen een belangrijke rol in situaties waarin een precieze uitkomst niet nodig of niet mogelijk is.
Bijvoorbeeld: je koopt 4 broden van € 2,48. Heb je genoeg aan een tientje om te betalen? En: hoeveel auto's staan er ongeveer in een file van 3 kilometer?
Wordt het precies en ongeveer rekenen grotendeels beheerst, dan wordt de rekenmachine geïntroduceerd. Hiermee ontstaat de mogelijkheid om allerlei omslachtige berekeningen snel, efficiënt en foutloos uit te voeren. Wel is het belangrijk dat leerlingen uitkomsten kunnen controleren met behulp van een schatstrategie.