Rekenen/wiskunde - Getallen en bewerkingen - kerndoel 28 - Groep 7 en 8 - Doorkijkje


De leerlingen leren schattend tellen en rekenen.


Groep 7 en 8


Doorkijkje

Brandstofprijzen

Op het digitaal schoolbord is een stukje van de site www.nu.nl geprojecteerd.
Juffrouw Ilse vraagt de kinderen van haar klas het volgende:
"Dit bericht staat vandaag op de website www.nu.nl. Lees het bericht eens."
De kinderen lezen de tekst van het bericht.

Dan gaat juf verder: "Als je de stijging van die prijzen zou moeten tekenen in een grafiek, welke lijn zou dan steiler omhoog gaan, die van de loodvrije benzine of die van de diesel? Probeer dat in tweetallen eens te schatten, dus zonder het precies uit te rekenen."
Al gauw is er een heftige discussie gaande. Het is duidelijk dat 1,3 cent meer is dan 0,7 cent, maar is dat ook meer in verhouding tot de literprijs?"

Ilse loopt langs de groepjes, luistert mee, stelt af en toe een vraag en legt dan alle gesprekken stil. Op basis van wat zij heeft gehoord en gezien geeft zij enkele kinderen een beurt en stimuleert de anderen daarop te reageren. Zij zorgt er heel goed voor niet iets van een voorkeur voor een oplossing te laten merken, maar speelt die steeds weer terug naar de groep: is dat zo? Hoe weet je dat zo zeker? Kun je dat zo uitleggen dat wij het ook snappen?


Toelichting: Schattend tellen

Er zijn verschillende manieren om schattend te tellen, zoals:

  • op het oog schatten, een impliciete manier van tellen, vaak gebaseerd op ervaring en door 'in gedachten' te vergelijken met een bekende structuur, bijvoorbeeld 'ziet' de beheerder van het stadion hoeveel toeschouwers er zijn, of 'ziet' de aannemer hoeveel stenen er nog zijn;
  • (expliciet) beredeneren op basis van een handige structuur of een wel-overzichtelijke hoeveelheid, bijvoorbeeld bij het schatten van het aantal sterren aan de hemel, het aantal trekvogels op het wad, het aantal bonen in een pot, e.d;
  • systematisch op basis van steekproeven (en statistische theorie),
    bijvoorbeeld het voorspellen van een verkiezingsuitslag op basis van een 'representatieve steekproef'.

Toelichting: Schattend rekenen: Waarom?

Schattend tellen en rekenen doen mensen binnen hun werk of thuis om verschillende redenen:

  • Om te weten hoeveel ongeveer goed genoeg is om een beslissing te kunnen nemen. Bijvoorbeeld: een aannemer hoeft niet te weten hoeveel stenen er precies nodig zijn, maar hoeveel pallets stenen besteld moeten (tenzij de stenen erg duur zijn);
  • Als opstapje naar een precieze berekening (handig rekenen door te werken met compensaties). Bijvoorbeeld: 5 x € 2,95 is ongeveer 5 x € 3,00 = € 15,00. (maar in werkelijkheid 5 x € 0,05 minder);
  • Om een berekening te controleren: Het gaat dan om het bepalen van de orde van grootte: bij grote getallen (cijferend of op de rekenmachine), of om de komma te kunnen plaatsen bij een berekening met kommagetallen; in zulke gevallen volstaat een grove schatting (met de hele getallen);
  • Bij gebrek aan precieze gegevens of als een grote nauwkeurigheid niet noodzakelijk is. Bijvoorbeeld: het bepalen van de hoogte van een boom of een flatgebouw, de lengte van een file of de afstand naar je vakantiebestemming.

Toelichting: Vergelijken met bekende aantallen

Bekende getallen fungeren dan als referentie(aantallen). Het opbouwen van een repertoire van dergelijke referenties is een voorwaarde om schattenderwijs met aantallen te kunnen en durven omgaan.

Als de kleuters weten dat er 26 kinderen in hun groep zitten, dan weten ze al snel raad met de vraag hoeveel jassen er aan de kapstok bij de klas hangen. Er zijn veel hoeveelheden waarover je zó vergelijkenderwijs iets kunt zeggen.

Bij dat vergelijken kun je ook in verhoudingen denken, zoals in de volgende bovenbouwvoorbeelden: Hoeveel inwoners in een stad of dorp wonen, is vaak gemakkelijk op te zoeken. Hoeveel woningen er zijn of hoeveel (aanstaande) brugklasleerlingen is moeilijker te vinden. Toch kun je iets over het aantal woningen zeggen, als je bijvoorbeeld weet dat er tussen de twee en drie mensen per woning wonen. En over het aantal brugklassers kun je wellicht iets zeggen als je weet dat er in heel Nederland ongeveer 200.000 kinderen per leeftijdsjaar zijn. Dus 200.000 brugklassers op 16.000.000 mensen.

Toelichting: Handig structureren

Onoverzichtelijke hoeveelheden zijn lastig te tellen. Het loont dan om ze voor een deel te tellen en het getelde deel te gebruiken om de hele hoeveelheid mee te vergelijken.
Bijvoorbeeld: Als van een stapel schriften er tien worden afgeteld, laat zich de vraag 'zouden er dertig zijn?' wel beantwoorden. Pepernoten kun je tellen door een handvol te tellen en dan te kijken hoeveel handen vol het er zijn.

Dit handig structureren vormt de basis voor het beredeneerd schatten. In feite wordt van kinderen gevraagd door te redeneren op basis van het getelde aantal. Het opdelen van hoeveelheden in 'handige' groepjes (bv. van ongeveer 10 of 25) is een belangrijke praktische manier van (schattend) tellen. Het 'bundelen' in tientallen, honderdtallen, enzovoort is in feite ook een basis van het tientallige talstelsel, waarmee wij rekenen.

Toelichting: Hanteerbare getallen

Getallen zijn hanteerbaar als ze passen binnen de context en aansluiten bij de voorkennis van de gebruiker. Bij het doen van boodschappen bijvoorbeeld is het verstandig naar boven af te ronden om bij de kassa niet voor onaangename verrassingen te komen staan. Bij de supermarkt zal het afronden anders gebeuren dan in een kledingzaak. Of iemand dan in de supermarkt afrondt op hele euro's of ook halve euro's gebruikt, of in de kledingzaak de bedragen juist ordent in groepjes van ongeveer 50 of 10 euro, hangt (ook) af van de rekenvaardigheid.

Schattend rekenen gebeurt door de getallen waarmee gerekend wordt eerst te vervangen door 'handige' getallen. Vaak zijn dat ronde getallen, dat wil zeggen, veelvouden van 5,10, 100, 1000, enzovoort. Daarna wordt met die goed hanteerbare getallen gerekend.

  • 2435 wordt afgerond op 2400, 2450, 2500 of "tussen 2000 en 3000";
  • € 34,50 wordt op hele Euro's afgerond;
  • 1.567.345 wordt op 1,5 miljoen afgerond;
  • 6 x 27 is ongeveer 6 x 25 = 150, vooral als je dat van buiten weet.

Je vindt die getallen door:

  • je kennis van (de structuur van) de getallen (kerndoel 26): 78 is bijna 80;
  • je netwerk (Kerndoel 27) van rekenfeiten: Voor iemand die weet dat 8 x 125 = 1000, is 8 x 130 iets meer dan 1000'. Wie dat niet weet zal eerder afronden naar: tussen 8 x 100 en 8 x 150, dus tussen 800 en 1200.

Toelichting: Wanneer schattend rekenen

In dagelijkse betaalsituaties kun je meestal volstaan met schattingen.
Bijvoorbeeld: Ik heb 3 pakken koffie van € 3,78, 1 doos wasmiddel van € 7,98 en 4 pakken lucifers van € 1,18 in mijn mandje liggen. Heb ik aan € 10,- genoeg om te betalen? Het gebruik van pinnen maakt deze toepassing echter steeds minder noodzakelijk. Daardoor verschuift het schatten naar het begroten van uitgaven in relatie tot inkomsten, zodat (te veel) rood staan wordt voorkomen.
Als je moet controleren of een berekening met de rekenmachine klopt, hoef je bijna nooit precies te rekenen:

  • 1250 + 16, moet iets meer dan 1250 zijn;
  • 4516 + 375, moet iets minder dan 4900 zijn;
  • 391,36 - 16,752 zal ongeveer 375 zijn.

Toelichting: Afwijking bij schatten

Bij het schattend rekenen hoort ook inzicht in 'hoe ver je er naast zit' en hoe erg dat is. Leerlingen moeten leren dat 'ongeveer 321' in de meeste situaties een onzinnige uitspraak is. De uitspraak '1 + 1 is ongeveer 2' zal in de meeste gevallen als 'vreemd' worden bestempeld, terwijl '0,9 + 1,2 is ongeveer 2' wel degelijk van inzicht in getallen getuigt. De context en de bijbehorende bedoeling bepalen hoe nauwkeurig een schatting mag zijn. Een aardappelhandelaar en een apotheker zullen bij het afwegen van hun handel verschillend omgaan met nauwkeurigheid, al wijkt de acceptabele meetfout in percentages uitgedrukt, misschien niet eens zo heel erg van elkaar af.

Wie gaat behangen met rollen van 10 meter en muren heeft van 2,55m hoog, kan beter niet rekenen op basis van de schatting dat er ongeveer 4 banen (van 2,50 meter) uit een rol gaan. Deze geringe afronding heeft als effect is dat je niet genoeg behang koopt.
De context bepaalt welke afwijking bij schatten acceptabel is, en of afrondingen naar boven of naar beneden wenselijk zijn.
De vraag of 7258 op 7000 of op 7200 of op 7250 moet worden afgerond is zonder context niet te beantwoorden.

Toelichting: Schattend meten

Meten is vrijwel altijd een benadering van de werkelijkheid. De gekozen maat bepaalt de mate van nauwkeurigheid; vergeleken met een fijnere maat is het dan altijd een schatting. Bijvoorbeeld: Wie op reis gaat is niet geïnteresseerd in een paar meter meer of minder, maar wie een nieuwe ruit moet inzetten, moet zelfs letten op een millimeter verschil tussen boven en onder. Wie wil weten hoe lang je erover doet om naar school te lopen kijkt niet op een minuut meer of minder, maar wie doet aan topschaatsen vindt een tiende van een seconde al een grove maat.

Voor het bepalen van een oppervlakte, bijvoorbeeld van een provincie, een kamer of een schoolplein, is een schatting mogelijk door eerst de vorm in gedachten (of op papier) om te vormen naar een rechthoek, waarbij voor lengte en breedte zelfs twee afgeronde getallen gekozen kunnen worden. Een berekening met ronde getallen levert dan de geschatte oppervlakte op. Op soortgelijke wijze is de inhoud van een kamer, een klaslokaal, een gebouw te berekenen met afgeronde getallen. Bij geschatte metingen is het vaak zinvol om een minimale en een maximale schatting te maken: minstens x, maar niet meer dan y, op basis waarvan een beslissing kan worden genomen.